Tak wyglądała treść ostatniego zadania:
Wyznacz 10 ostatnich cyfr liczby 49! (=1*2*3...*49)
Na pierwszy rzut oka to zadanie może wydawać się trudne - w końcu mówimy tu o 10 ostatnich a nie, na przykład, 2 ostatnich cyfrach hello?! No ale nic, wróćmy do zadania i wypiszmy parę liczb jako iloczyny potęg.
4 = 2^2
5 = 5^1
6 = 2^1 * 3^1
10 = 2^1 * 5^1
15 = 5^1 * 3^1
Możemy zauważyć że w rozkładzie liczby 49! będzie bardzo dużo dwójek. Warto również zastanowić się nad tym, że autorzy tego zadania raczej nie dali by czegoś co by było strasznie trudno wyliczyć i w czym nie wykorzystywałoby się "nosa" matematycznego :)
W tym rozkładzie znajdziemy bardzo dużo potęg dwójek, choćby 2^2, 2^5, 2^4, 2^3, 2^4 * 3 i tak dalej i tak dalej. A ile znajdziemy piątek?
5 = 5^1
10 = 5^1 * 2^1
15 = 5^1 * 3^1
20 = 5^1 * 2^2
25 = 5^2
30 = 5^1 * 2^1 * 3^1
35 = 5^1 * 7^1
40 = 5^1 * 2^3
45 = 5^1 * 3^2
I mamy dziesięć piątek :). Mamy też dużo więcej niż 10 dwójek, ale nam potrzeba tylko 10. Zauważmy że 5^10 * 2^10 da nam 10^10, a cokolwiek pomnożymy przez 10^10, ta liczba którą otrzymamy będzie miała na końcu 10 zer. I to jest nasza odpowiedź :)
A to zadanie na 28 lipca:
Uzasadnij, że liczba 300-cyfrowa składająca się z 100 zer, 100 jedynek i 100 dwójek nie może być kwadratem liczby naturalnej.
wtorek, 28 lipca 2015
poniedziałek, 27 lipca 2015
Rozwiązanie zagadki z dnia 26.07.15 i nowe zadanie :)
Cześć!
Skoro tu jesteś. to najprawdopodobniej chcesz poznać rozwiązanie ostatniego zadania :)
Brzmiało ono tak: "Uzasadnij, ze suma lioczynu 4 kolejnych liczb naturalnych i cyfry jeden jest kwadratem liczby naturalnej.".
ROZWIĄZANIE:
Zapiszmy nasze 4 kolejne liczby naturalne jako x, x+1, x+2 i x+3. Możemy więc zapisać:
x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 < I to ma być kwadratem liczby naturalnej
Wykorzystamy tutaj pewien trik matematyczny. Pomnóżmy x przez x+3, a x+1 przez x+2.
Otrzymamy wtedy takie cuś:
(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) + 1 < Przypomnę że ten zapis to wynik mnożenia przez przez siebie x i x+3 oraz x+1 i x+2
Okej, to teraz wystarczy coś zauważyć...
Oznaczmy sobie wyrażenie x^2 + 3x przez jakieś tam a, i co wtedy otrzymamy?
a(a+2) + 1 = (a+1)^2 I to kończy nasze zadanie :)
A oto zagadka na jutro:
Wyznacz 10 ostatnich cyfr liczby 49! (=1*2*3...*49)
* oznacza "razy", czyli mnożenie.
Powodzenia :)
Skoro tu jesteś. to najprawdopodobniej chcesz poznać rozwiązanie ostatniego zadania :)
Brzmiało ono tak: "Uzasadnij, ze suma lioczynu 4 kolejnych liczb naturalnych i cyfry jeden jest kwadratem liczby naturalnej.".
ROZWIĄZANIE:
Zapiszmy nasze 4 kolejne liczby naturalne jako x, x+1, x+2 i x+3. Możemy więc zapisać:
x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 < I to ma być kwadratem liczby naturalnej
Wykorzystamy tutaj pewien trik matematyczny. Pomnóżmy x przez x+3, a x+1 przez x+2.
Otrzymamy wtedy takie cuś:
(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) + 1 < Przypomnę że ten zapis to wynik mnożenia przez przez siebie x i x+3 oraz x+1 i x+2
Okej, to teraz wystarczy coś zauważyć...
Oznaczmy sobie wyrażenie x^2 + 3x przez jakieś tam a, i co wtedy otrzymamy?
a(a+2) + 1 = (a+1)^2 I to kończy nasze zadanie :)
A oto zagadka na jutro:
Wyznacz 10 ostatnich cyfr liczby 49! (=1*2*3...*49)
* oznacza "razy", czyli mnożenie.
Powodzenia :)
Trójkąt o wszystkich kątach prostych? Odpowiedź :)
No dobrze, zabierzmy się do narysowania trójkąta o wszystkich kątach prostych :) Będziemy na początek potrzebować jakiejś kuli (np. globusa). Teraz jeden z wierzchołków trójkąta narysujmy na jednym z biegunów, a pozostałe dwa na przykład na równiku, oddalone od siebie o ćwierć obrotu Ziemi.
Myślę, że zadanie bardzo ciekawe, chociaż z pogranicza legalności :)
Zdjęcie z: http://www.wiw.pl/biblioteka/femmefatalek_sadowski/04.asp
niedziela, 26 lipca 2015
0,9999999..... = 1 ?!
Przeglądając internet znalazłem coś bardzo ciekawego, a mianowicie spór osób o to czy 0,999999... jest równe 1. Na początku pomyślałem, że to kompletna bzdura jednak najpierw chciałbym coś pokazać.
0,(9) = 0,9999999...
Załóżmy że nasz iks będzie równy 0,(9), czyli inaczej zero, przecinek, i nieskończenie wiele dziewiątek.
x = 0,9999999...
10 x = 9,9999999...
10 x - x = 9,9999999... - 0,9999999... = 9
9x = 9
x = 1
Ale przecież liczba 0,(9) tylko dąży do 1! Więc z jakiej paki nawet Wikipedia zgadza się z tym że 0,(9) = 1?
Zobaczmy to na innym przykładzie. Załóżmy że nasz y będzie równy 0,(1).
10 y = 1,1111111...
10 y - y = 1
9 y = 1
y = 1/9
Zapis dziesiętny tego ułamka to 0,(1), czyli wszystko się zgadza.
Zauważmy że 2/9 to 0,(2) a 3/9 to 0,(3) - czyli wypadałoby żeby 9/9 było równe 0,(9). Jednak 9/9 to przecież 1!
Zauważmy też że jest różnica między 1/9 a 0,(1), gdyż ułamek zwykły w tym przypadku jest bardzo dokładny i on jest naszym punktem odniesienia, a w wersji dziesiętnej tego ułamka po każdej jedynce możemy postawić kolejną. Wydaje mi się, że stwierdzenie, że 0,(9) = 1 jest tylko i wyłącznie przeoczeniem ww. rzeczy. Osobiście, jestem przeciwnikiem tak zwanego "science woo", a to już mi pod takie coś podchodzi. :-)
Jedno ze źródeł: https://pl.wikipedia.org/wiki/0%2C%289%29
0,(9) = 0,9999999...
Załóżmy że nasz iks będzie równy 0,(9), czyli inaczej zero, przecinek, i nieskończenie wiele dziewiątek.
x = 0,9999999...
10 x = 9,9999999...
10 x - x = 9,9999999... - 0,9999999... = 9
9x = 9
x = 1
Ale przecież liczba 0,(9) tylko dąży do 1! Więc z jakiej paki nawet Wikipedia zgadza się z tym że 0,(9) = 1?
Zobaczmy to na innym przykładzie. Załóżmy że nasz y będzie równy 0,(1).
10 y = 1,1111111...
10 y - y = 1
9 y = 1
y = 1/9
Zapis dziesiętny tego ułamka to 0,(1), czyli wszystko się zgadza.
Zauważmy że 2/9 to 0,(2) a 3/9 to 0,(3) - czyli wypadałoby żeby 9/9 było równe 0,(9). Jednak 9/9 to przecież 1!
Zauważmy też że jest różnica między 1/9 a 0,(1), gdyż ułamek zwykły w tym przypadku jest bardzo dokładny i on jest naszym punktem odniesienia, a w wersji dziesiętnej tego ułamka po każdej jedynce możemy postawić kolejną. Wydaje mi się, że stwierdzenie, że 0,(9) = 1 jest tylko i wyłącznie przeoczeniem ww. rzeczy. Osobiście, jestem przeciwnikiem tak zwanego "science woo", a to już mi pod takie coś podchodzi. :-)
Jedno ze źródeł: https://pl.wikipedia.org/wiki/0%2C%289%29
Trójkąt o wszystkich kątach prostych?
Cześć :)
Możliwe że jeśli tu jesteś to trochę zaintrygował cię tytuł tego wpisu. Mowa tu przecież o 3 kątach prostych w trójkącie! Niemożliwe? Patrząc przez pryzmat szkolny tak, ale odłóżmy standardowe myślenie na bok i przyjrzyjmy się bliżej zadaniu z książki David'a Wells'a pt. "Cudowne i interesujące łamigłówki matematyczne". Zadanie to brzmi tak:
157. Narysuj trójkąt który ma wszystkie kąty proste.
Po odpowiedź zapraszam jutro, a na teraz: czy potrafisz oszukać system i narysować taki trójkąt? :)
Możliwe że jeśli tu jesteś to trochę zaintrygował cię tytuł tego wpisu. Mowa tu przecież o 3 kątach prostych w trójkącie! Niemożliwe? Patrząc przez pryzmat szkolny tak, ale odłóżmy standardowe myślenie na bok i przyjrzyjmy się bliżej zadaniu z książki David'a Wells'a pt. "Cudowne i interesujące łamigłówki matematyczne". Zadanie to brzmi tak:
157. Narysuj trójkąt który ma wszystkie kąty proste.
Po odpowiedź zapraszam jutro, a na teraz: czy potrafisz oszukać system i narysować taki trójkąt? :)
Rozwiązanie zagadki z dnia 25.07.15 i nowe zadanie :)
Przypomnę treść zadania:
Czy istnieją dodatnie liczby naturalne x,y takie, ze x^2+y i y^2+x są kwadratami liczb naturalnych?
ROZWIĄZANIE:
Niewiadome w tym zadaniu są symetryczne (czyli jak je ze sobą zamienię otrzymam takie samo zadanie), możemy więc ustalić sobie że x >= y. ( >= oznacza większy bądź równy)
Do rozwiązania tego zadania będziemy potrzebowali pewnego triku matematycznego :) Weźmy sobie na warsztat iksa i podnieśmy go do kwadratu. To samo zróbmy z liczbą o 1 większą od iksa i również podnieśmy ją do kwadratu. Można zauważyć, że pomiędzy nimi nie ma żadnych innych kwadratów liczb naturalnych. Dla przykładu weźmy sobie 6 i liczbę od niej o 1 większą - czyli 7. Po podniesieniu szóstki do kwadratu otrzymamy 36, natomiast po takiej samej operacji na siódemce otrzymamy 49. Między nimi nie będzie żadnej liczby którą da się "położyć" pod pierwiastek kwadratowy aby otrzymać jakąś liczbę naturalną :)
Wracając do zadania.
Ustaliliśmy że x >= y, czyli również i x^2 + x >= y^2 + x, i wiemy że między x^2 a (x+1)^2 nie ma żadnych kwadratów liczb naturalnych, możemy więc narysować sobie takie coś:
x^2 <= y^2 + x <= x^2 + x <= (x+1)^2
x^2 <= y^2 + x <= x^2 + x <= x^2 + 2x + 1
I tu już mamy nasze rozwiązanie. Zauważmy że w środku tego zapisu jest y^2 + x, czyli to samo co mieliśmy w treści zadania. Pytanie było czy istnieje taki x i y, że y^2 + x będzie kwadratem liczby naturalnej. Nie istnieje, gdyż y^2 + x jest większe bądź równe x^2 i mniejsze bądź równe (x+1)^2 a między tymi dwoma nie ma żadnych kwadratów liczb naturalnych.
Możemy jeszcze się upewnić podstawiając do ww. zapisu x^2 + y, dojdziemy do dokładnie takiego samego wniosku :)
x^2 <= x^2 + y <= x^2 + x <= (x+1)^2
Okej, tutaj wstawiam następne zadanie :)
Uzasadnij, ze suma iloczynu 4 kolejnych liczb naturalnych i cyfry jeden jest kwadratem liczby naturalnej.
Od razu powiem że trzeba tu coś zauważyć, użyć kolejnego triku :-)
Powodzenia!
Czy istnieją dodatnie liczby naturalne x,y takie, ze x^2+y i y^2+x są kwadratami liczb naturalnych?
ROZWIĄZANIE:
Niewiadome w tym zadaniu są symetryczne (czyli jak je ze sobą zamienię otrzymam takie samo zadanie), możemy więc ustalić sobie że x >= y. ( >= oznacza większy bądź równy)
Do rozwiązania tego zadania będziemy potrzebowali pewnego triku matematycznego :) Weźmy sobie na warsztat iksa i podnieśmy go do kwadratu. To samo zróbmy z liczbą o 1 większą od iksa i również podnieśmy ją do kwadratu. Można zauważyć, że pomiędzy nimi nie ma żadnych innych kwadratów liczb naturalnych. Dla przykładu weźmy sobie 6 i liczbę od niej o 1 większą - czyli 7. Po podniesieniu szóstki do kwadratu otrzymamy 36, natomiast po takiej samej operacji na siódemce otrzymamy 49. Między nimi nie będzie żadnej liczby którą da się "położyć" pod pierwiastek kwadratowy aby otrzymać jakąś liczbę naturalną :)
Wracając do zadania.
Ustaliliśmy że x >= y, czyli również i x^2 + x >= y^2 + x, i wiemy że między x^2 a (x+1)^2 nie ma żadnych kwadratów liczb naturalnych, możemy więc narysować sobie takie coś:
x^2 <= y^2 + x <= x^2 + x <= (x+1)^2
x^2 <= y^2 + x <= x^2 + x <= x^2 + 2x + 1
I tu już mamy nasze rozwiązanie. Zauważmy że w środku tego zapisu jest y^2 + x, czyli to samo co mieliśmy w treści zadania. Pytanie było czy istnieje taki x i y, że y^2 + x będzie kwadratem liczby naturalnej. Nie istnieje, gdyż y^2 + x jest większe bądź równe x^2 i mniejsze bądź równe (x+1)^2 a między tymi dwoma nie ma żadnych kwadratów liczb naturalnych.
Możemy jeszcze się upewnić podstawiając do ww. zapisu x^2 + y, dojdziemy do dokładnie takiego samego wniosku :)
x^2 <= x^2 + y <= x^2 + x <= (x+1)^2
Okej, tutaj wstawiam następne zadanie :)
Uzasadnij, ze suma iloczynu 4 kolejnych liczb naturalnych i cyfry jeden jest kwadratem liczby naturalnej.
Od razu powiem że trzeba tu coś zauważyć, użyć kolejnego triku :-)
Powodzenia!
sobota, 25 lipca 2015
Częsta choroba
Cześć!
Chciałbym dzisiaj poruszyć temat dotyczący choroby która dotyka myślę że sporą część osób, nie tylko matematyków. Jest to syndrom utartych szlaków myślowych, w skrócie USM.
Sam się z tym borykam, USM bardzo zawęża pole manewru w różnych zadaniach, ciężko wygrać jakiś bardziej prestiżowy konkurs mając tego wirusa, a jest to wręcz niemożliwe kiedy jeszcze z nim nie walczymy. Kto jest winny temu że duża część z nas ma tego syfa - oczywiście, że nasze ukochane szkolnictwo :) Te wszystkie podstawy programowe w szkołach są do kitu - nie rozwijają wyobraźni, nie uczą zaradności itp. I nie mówię tutaj o nauczycielach - znam wielu świetnych ludzi którzy umieją przekazać podstawę ( lub rozszerzenie ;) w bardzo ciekawy i przystępny sposób! Jednak jest ich niezbyt wiele, myślę że w moim przypadku będzie to tak z 20 procent. Dlaczego o tym piszę? Zainspirowało mnie do tego pewne zadanie oto jego treść:
Narysuj bryłę która w rzucie z góry i z przodu wygląda tak:
Po kilkunastu minutach myślenia nadal sam nie odkryłem rozwiązania (może niezbyt długo siedziałem nad tym zadaniem, lecz bez USM-a zrobiłbym je w trymiga), dlatego zobaczyłem rozwiązanie. No po prostu makabra! Nie było trudne ale było nietypowe, i chyba to jest najlepszy powód żeby się leczyć. W moim przekonaniu można mieć naprawdę ogromny zasób wiedzy, ale bez niestandardowego myślenia nie będziemy w stanie wybić się ponad znane, stare i również szkolne zadania.
Aaaa... rozwiązanie... no tak. Już je wklejam.
Chciałbym dzisiaj poruszyć temat dotyczący choroby która dotyka myślę że sporą część osób, nie tylko matematyków. Jest to syndrom utartych szlaków myślowych, w skrócie USM.
Sam się z tym borykam, USM bardzo zawęża pole manewru w różnych zadaniach, ciężko wygrać jakiś bardziej prestiżowy konkurs mając tego wirusa, a jest to wręcz niemożliwe kiedy jeszcze z nim nie walczymy. Kto jest winny temu że duża część z nas ma tego syfa - oczywiście, że nasze ukochane szkolnictwo :) Te wszystkie podstawy programowe w szkołach są do kitu - nie rozwijają wyobraźni, nie uczą zaradności itp. I nie mówię tutaj o nauczycielach - znam wielu świetnych ludzi którzy umieją przekazać podstawę ( lub rozszerzenie ;) w bardzo ciekawy i przystępny sposób! Jednak jest ich niezbyt wiele, myślę że w moim przypadku będzie to tak z 20 procent. Dlaczego o tym piszę? Zainspirowało mnie do tego pewne zadanie oto jego treść:
Narysuj bryłę która w rzucie z góry i z przodu wygląda tak:
Po kilkunastu minutach myślenia nadal sam nie odkryłem rozwiązania (może niezbyt długo siedziałem nad tym zadaniem, lecz bez USM-a zrobiłbym je w trymiga), dlatego zobaczyłem rozwiązanie. No po prostu makabra! Nie było trudne ale było nietypowe, i chyba to jest najlepszy powód żeby się leczyć. W moim przekonaniu można mieć naprawdę ogromny zasób wiedzy, ale bez niestandardowego myślenia nie będziemy w stanie wybić się ponad znane, stare i również szkolne zadania.
Aaaa... rozwiązanie... no tak. Już je wklejam.
Tak to mniej więcej będzie wyglądać jak taka dziura przez połowę okrągłego sera. Nietrudne, a jednak wymiękłem! :) A jak ty poradziłeś(aś) sobie z zadaniem? Czy również masz problemy z USM-em? :')
Subskrybuj:
Posty (Atom)