Przypomnę treść zadania:
Czy istnieją dodatnie liczby naturalne x,y takie, ze x^2+y i y^2+x są kwadratami liczb naturalnych?
ROZWIĄZANIE:
Niewiadome w tym zadaniu są symetryczne (czyli jak je ze sobą zamienię otrzymam takie samo zadanie), możemy więc ustalić sobie że x >= y. ( >= oznacza większy bądź równy)
Do rozwiązania tego zadania będziemy potrzebowali pewnego triku matematycznego :) Weźmy sobie na warsztat iksa i podnieśmy go do kwadratu. To samo zróbmy z liczbą o 1 większą od iksa i również podnieśmy ją do kwadratu. Można zauważyć, że pomiędzy nimi nie ma żadnych innych kwadratów liczb naturalnych. Dla przykładu weźmy sobie 6 i liczbę od niej o 1 większą - czyli 7. Po podniesieniu szóstki do kwadratu otrzymamy 36, natomiast po takiej samej operacji na siódemce otrzymamy 49. Między nimi nie będzie żadnej liczby którą da się "położyć" pod pierwiastek kwadratowy aby otrzymać jakąś liczbę naturalną :)
Wracając do zadania.
Ustaliliśmy że x >= y, czyli również i x^2 + x >= y^2 + x, i wiemy że między x^2 a (x+1)^2 nie ma żadnych kwadratów liczb naturalnych, możemy więc narysować sobie takie coś:
x^2 <= y^2 + x <= x^2 + x <= (x+1)^2
x^2 <= y^2 + x <= x^2 + x <= x^2 + 2x + 1
I tu już mamy nasze rozwiązanie. Zauważmy że w środku tego zapisu jest y^2 + x, czyli to samo co mieliśmy w treści zadania. Pytanie było czy istnieje taki x i y, że y^2 + x będzie kwadratem liczby naturalnej. Nie istnieje, gdyż y^2 + x jest większe bądź równe x^2 i mniejsze bądź równe (x+1)^2 a między tymi dwoma nie ma żadnych kwadratów liczb naturalnych.
Możemy jeszcze się upewnić podstawiając do ww. zapisu x^2 + y, dojdziemy do dokładnie takiego samego wniosku :)
x^2 <= x^2 + y <= x^2 + x <= (x+1)^2
Okej, tutaj wstawiam następne zadanie :)
Uzasadnij, ze suma iloczynu 4 kolejnych liczb naturalnych i cyfry jeden jest kwadratem liczby naturalnej.
Od razu powiem że trzeba tu coś zauważyć, użyć kolejnego triku :-)
Powodzenia!
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz